第二十四章 测度论
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“长度是什么？面积是什么？体积是什么？”
这个意料之外的问题让奧流楞了一会儿。他没有想到王崎会问这种问题。思考片刻之后，他张口道：“长度是……”
话到嘴边又说不出口了。
何谓长？
这个问题，恐怕每一个人都知道。就算是刚刚开灵的新生妖族或者小孩子，都能有咿咿呀呀的比划大小、长短等诸多概念。
但是，越是简单的概念，反而越难以叙述。因为在绝大部分人心中，“长度”这个概念已经够基础的了。要他们用更加基础的概念去表述这样一个概念……
真的很难呀。
看到他的样子，王崎微微有些好笑，但仍是一本正经的说道：“既然你无法回答这个问题，那就简单点好了。就问你，长度是什么？”
奧流已经说不出什么“别小瞧妖”之类的话了。
他很认真的思考问题，最后小心翼翼的说出了结论：“两点之间的距离……”
“呵呵。”王崎付之一笑。
奧流有些被激怒。他站起来，道：“这种不言自明的道理，又有谁会不明白？既然人人都明白，那又为何要研究它？要我说，你等人族已经走入执念障了，只盯着自己那一亩三分地，却看不到广阔天空。”
“不言自明？”王崎的语气当中充满调侃的意味。他手脚并用翻下讲桌，在空中扯了个筋斗，落在奧流的课桌前，直直的盯着奧流。他笑容有些阴森：“小子，我得告诉你，没有什么是不言自明的。所谓的‘不言自明’，只不过是你的脑子、你的魂魄、你的智慧给你的一种错觉，一种幻象。”
“这种幻觉的名字，就叫‘我生而知之’，或者‘我很聪明’‘我心近道’。”
王崎又站了起来：“或许后天获得的灵智，让你们有了一种‘有灵智方才出生’的感觉吧。这种感情，我们还真不能体会。对于我们人族来说，‘灵慧’真的是稀松平常。所以，我们才会觉得灵慧其实也没有那么伟大——至少我们人族这种层次的智慧没有那么伟大。我们所知晓的一切，其实都是智慧给自己设下的枷锁。”
“只有认清执念，才能破除执念。只有知晓天空的渺小，才能够计算星海的浩瀚。”
奧流皱眉：“坐而论道吗？说得好听罢了。”
他心中其实是有一些窃喜的。这种观念之争、理念之争可以说上很久，最终有可能变成谁都没办法说服谁的局面。若是进入这样的局面，他倒是有机会抹除刚才的尴尬一幕。
可惜，王崎是不会给他这种机会的。
世界终究是客观的。真就是真，伪就是伪。
王崎身子向后一翻，像是要倒在地上。下一秒，他就在讲台上站好。他道：“方才你提到了‘四个条件’支撑起的一套几何，想必也是知晓‘第五个条件’吧？”
奧流点点头：“不绝对。”
“能够将画天法称之为‘条件’，你们更新妖族也是有一些智慧的。可惜啊……”王崎摇摇头，也不知是可惜更新妖族没有更深入，还是在可惜某个后辈学艺不精。他道：“既然你们知晓这被我们人族称之为画天法的公设，那也应该知晓点线面的定义咯？”
奧流点点头。这种不言自明的问题，他们确实是知晓的。
“线是无数点的总和，对吧？”
奧流再次点点头。
王崎继续问道：“那么你们有没有想过，点是没有长度的。或者说，点的长度是零。线是由无数点构成的，那么，线又是从哪里来的长度呢？”
“唔……”这个问题，让所有的学生都愣了一下。
包括月落琉璃和白弦素铮这两个龙族在内，所有人都是一愣。
——这个……还真没有人想过！
王崎看着底下那群学生的表情，终于是满意的点了点头。
——小样儿，我还治不了你们了？
——我告诉你们，我这里看起来简单，但是难得要死的问题是要多少有多少。
王崎刚才问出的问题，其实就是“测度论”当中的重要部分。而它的解答，在地球被称作“勒贝格积分”。在这个世界，它作为离宗的经典，由歌庭派完成。
尽管这只是算主辉煌人生的一个小小注脚，但是大多数人都知晓，若是有万法门弟子吃透了这个，那么升到炼虚期都不会有什么障碍。
没有接触过主流数学的天才人物需要多久才能彻底想明白这个问题呢？
格罗滕迪克高中时期花了三年。
“想要解释这个问题，就得先从集合论谈起了。”王崎说着，开始讲解集合里面最初的内容。集合、淄即、元素、并集、交集、补集等等。、
这些内容全部都是面向普通高中生的。大约三五节课，地球上的普通高中生就能够掌握这方面的内容。而王崎现在的这些学生起码都是化形期的高阶妖族，记忆力更加强大，他只花了一个小时，就保证让他们掌握了那些集合的基本概念。
当然，也真的只是基本概念而已。
“接下来，我们可以引入一些更加复杂的概念，比如说‘无穷大’。‘无穷大’这个概念也很复杂。我知道，在算学之外，这个概念也被一些人讨论。或许你们当中有一些人就思考过这样的问题——什么叫无穷大。而现在，丢掉你们脑子当中那些玄之又玄的定义。在算学里，无穷只有已知的两种。可数无穷和不可数无穷。所有整数的集合便被称为‘可数无穷’。不可数无穷比可数无穷更大，不存在比可数无穷更小的无穷……”
“所有实数的集合就是一个不可数无穷。而所有与‘所有实数的集合’等势的集合，就被称作‘连续统’。”讲话到这里，王崎笑了一下：“顺便一提，这个系统里面有相当一部分东西就是我证明的。换言之，这是我悟出来的东西。这一点必须强调一下。”
奧流脸色铁青。
“我本人和‘连续统假设’的故事，有空再讲给你们听。总而言之，你们知道这么个概念就行了。若要问‘可数无穷’和‘不可数无穷’之间的区别，那就简单说一下吧——这或许就是无大小的点到线与面之间的奥妙。”
“现在回到主题。我们通常所说的长度面积体积这些词，究竟是什么意思？”王崎双手撑在讲桌上：“为了更清楚的阐明这个主题，让我们把目光只集中在最简单的一维情形，也就是说，我们只考虑‘长度’这个词。我们希望，取出直线上的一部分，就有一个‘长度’存在。如果能做到这一点，那么类似的，面积和体积之类的字眼也可以类似的得以理解。”
“首先，我们可以做出这样的定义。一个直线，就是一个巨大的点集。”
“这个点集的每一个子集，包括它自身，都存在‘势’。这个势就是一个测度。”
“两个彼此本身不相交的子集的并集——也就是这个大点集的另一个子集，也有测度并且这个测度应该等于两者之和。简单来说，两个不相交不重叠的线段的总长度，就可以视作是它们各自长度的总和。”
“更进一步，三个不相交子集的测度之和也应该等于这三个子集并起来的集合的测度，四个也好，五个也好，依此类推，无穷个不相交子集的测度之和也应该等于把它们并起来得到的集合的测度。”
说到这里，王崎郑重的说道：“接下来，我们就可以做出最终的定义了。”
“一，空集对应的测度是零。二，若干个彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自测度之和。三，如果把直线看作实数轴，那么从数轴上子点到丑点的线段对应的测度应当等于丑减去子。”
接着，王崎闭上眼睛，表情肃穆。
“就是人们通常所说的‘长度’的严密定义，而且是唯一正确的定义。”
当然，这句话略有些夸张。王崎刚才讲述的勒贝格测度【在这个世界，它被唤作‘歌庭测度’】，只是测度当中的一种。事实上，这个世界也会存在其他测度体系。数学上也承认不同于这种测度的其他测度。
比如，地球物理学当中会涉及的另一种测度，狄拉克测度【本世界也唤作“无量测度”】
这就让很多数学家相信，实际上还有更加具有普遍性的测度，只是人类还没有理解到那一步。
但是，就现阶段来说，“长度”这个词得到了严格的定义，人类对算学的认知也到了更深的层次。
有那么一瞬间，奧流真的被震慑到了。他惊叹于这种严密的智慧。但是他依旧问道：“这有什么用呢？这不过是在玩文字游戏。这种游戏，我可以玩上一天……”
“是啊，有什么用呢。”身形一闪，王崎再一次出现在奧流的面前：“这个定义，恰好能让你意识到自身的渺小啊。”(未完待续。)
“长度是什么？面积是什么？体积是什么？”
这个意料之外的问题让奧流楞了一会儿。他没有想到王崎会问这种问题。思考片刻之后，他张口道：“长度是……”
话到嘴边又说不出口了。
何谓长？
这个问题，恐怕每一个人都知道。就算是刚刚开灵的新生妖族或者小孩子，都能有咿咿呀呀的比划大小、长短等诸多概念。
但是，越是简单的概念，反而越难以叙述。因为在绝大部分人心中，“长度”这个概念已经够基础的了。要他们用更加基础的概念去表述这样一个概念……
真的很难呀。
看到他的样子，王崎微微有些好笑，但仍是一本正经的说道：“既然你无法回答这个问题，那就简单点好了。就问你，长度是什么？”
奧流已经说不出什么“别小瞧妖”之类的话了。
他很认真的思考问题，最后小心翼翼的说出了结论：“两点之间的距离……”
“呵呵。”王崎付之一笑。
奧流有些被激怒。他站起来，道：“这种不言自明的道理，又有谁会不明白？既然人人都明白，那又为何要研究它？要我说，你等人族已经走入执念障了，只盯着自己那一亩三分地，却看不到广阔天空。”
“不言自明？”王崎的语气当中充满调侃的意味。他手脚并用翻下讲桌，在空中扯了个筋斗，落在奧流的课桌前，直直的盯着奧流。他笑容有些阴森：“小子，我得告诉你，没有什么是不言自明的。所谓的‘不言自明’，只不过是你的脑子、你的魂魄、你的智慧给你的一种错觉，一种幻象。”
“这种幻觉的名字，就叫‘我生而知之’，或者‘我很聪明’‘我心近道’。”
王崎又站了起来：“或许后天获得的灵智，让你们有了一种‘有灵智方才出生’的感觉吧。这种感情，我们还真不能体会。对于我们人族来说，‘灵慧’真的是稀松平常。所以，我们才会觉得灵慧其实也没有那么伟大——至少我们人族这种层次的智慧没有那么伟大。我们所知晓的一切，其实都是智慧给自己设下的枷锁。”
“只有认清执念，才能破除执念。只有知晓天空的渺小，才能够计算星海的浩瀚。”
奧流皱眉：“坐而论道吗？说得好听罢了。”
他心中其实是有一些窃喜的。这种观念之争、理念之争可以说上很久，最终有可能变成谁都没办法说服谁的局面。若是进入这样的局面，他倒是有机会抹除刚才的尴尬一幕。
可惜，王崎是不会给他这种机会的。
世界终究是客观的。真就是真，伪就是伪。
王崎身子向后一翻，像是要倒在地上。下一秒，他就在讲台上站好。他道：“方才你提到了‘四个条件’支撑起的一套几何，想必也是知晓‘第五个条件’吧？”
奧流点点头：“不绝对。”
“能够将画天法称之为‘条件’，你们更新妖族也是有一些智慧的。可惜啊……”王崎摇摇头，也不知是可惜更新妖族没有更深入，还是在可惜某个后辈学艺不精。他道：“既然你们知晓这被我们人族称之为画天法的公设，那也应该知晓点线面的定义咯？”
奧流点点头。这种不言自明的问题，他们确实是知晓的。
“线是无数点的总和，对吧？”
奧流再次点点头。
王崎继续问道：“那么你们有没有想过，点是没有长度的。或者说，点的长度是零。线是由无数点构成的，那么，线又是从哪里来的长度呢？”
“唔……”这个问题，让所有的学生都愣了一下。
包括月落琉璃和白弦素铮这两个龙族在内，所有人都是一愣。
——这个……还真没有人想过！
王崎看着底下那群学生的表情，终于是满意的点了点头。
——小样儿，我还治不了你们了？
——我告诉你们，我这里看起来简单，但是难得要死的问题是要多少有多少。
王崎刚才问出的问题，其实就是“测度论”当中的重要部分。而它的解答，在地球被称作“勒贝格积分”。在这个世界，它作为离宗的经典，由歌庭派完成。
尽管这只是算主辉煌人生的一个小小注脚，但是大多数人都知晓，若是有万法门弟子吃透了这个，那么升到炼虚期都不会有什么障碍。
没有接触过主流数学的天才人物需要多久才能彻底想明白这个问题呢？
格罗滕迪克高中时期花了三年。
“想要解释这个问题，就得先从集合论谈起了。”王崎说着，开始讲解集合里面最初的内容。集合、淄即、元素、并集、交集、补集等等。、
这些内容全部都是面向普通高中生的。大约三五节课，地球上的普通高中生就能够掌握这方面的内容。而王崎现在的这些学生起码都是化形期的高阶妖族，记忆力更加强大，他只花了一个小时，就保证让他们掌握了那些集合的基本概念。
当然，也真的只是基本概念而已。
“接下来，我们可以引入一些更加复杂的概念，比如说‘无穷大’。‘无穷大’这个概念也很复杂。我知道，在算学之外，这个概念也被一些人讨论。或许你们当中有一些人就思考过这样的问题——什么叫无穷大。而现在，丢掉你们脑子当中那些玄之又玄的定义。在算学里，无穷只有已知的两种。可数无穷和不可数无穷。所有整数的集合便被称为‘可数无穷’。不可数无穷比可数无穷更大，不存在比可数无穷更小的无穷……”
“所有实数的集合就是一个不可数无穷。而所有与‘所有实数的集合’等势的集合，就被称作‘连续统’。”讲话到这里，王崎笑了一下：“顺便一提，这个系统里面有相当一部分东西就是我证明的。换言之，这是我悟出来的东西。这一点必须强调一下。”
奧流脸色铁青。
“我本人和‘连续统假设’的故事，有空再讲给你们听。总而言之，你们知道这么个概念就行了。若要问‘可数无穷’和‘不可数无穷’之间的区别，那就简单说一下吧——这或许就是无大小的点到线与面之间的奥妙。”
“现在回到主题。我们通常所说的长度面积体积这些词，究竟是什么意思？”王崎双手撑在讲桌上：“为了更清楚的阐明这个主题，让我们把目光只集中在最简单的一维情形，也就是说，我们只考虑‘长度’这个词。我们希望，取出直线上的一部分，就有一个‘长度’存在。如果能做到这一点，那么类似的，面积和体积之类的字眼也可以类似的得以理解。”
“首先，我们可以做出这样的定义。一个直线，就是一个巨大的点集。”
“这个点集的每一个子集，包括它自身，都存在‘势’。这个势就是一个测度。”
“两个彼此本身不相交的子集的并集——也就是这个大点集的另一个子集，也有测度并且这个测度应该等于两者之和。简单来说，两个不相交不重叠的线段的总长度，就可以视作是它们各自长度的总和。”
“更进一步，三个不相交子集的测度之和也应该等于这三个子集并起来的集合的测度，四个也好，五个也好，依此类推，无穷个不相交子集的测度之和也应该等于把它们并起来得到的集合的测度。”
说到这里，王崎郑重的说道：“接下来，我们就可以做出最终的定义了。”
“一，空集对应的测度是零。二，若干个彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自测度之和。三，如果把直线看作实数轴，那么从数轴上子点到丑点的线段对应的测度应当等于丑减去子。”
接着，王崎闭上眼睛，表情肃穆。
“就是人们通常所说的‘长度’的严密定义，而且是唯一正确的定义。”
当然，这句话略有些夸张。王崎刚才讲述的勒贝格测度【在这个世界，它被唤作‘歌庭测度’】，只是测度当中的一种。事实上，这个世界也会存在其他测度体系。数学上也承认不同于这种测度的其他测度。
比如，地球物理学当中会涉及的另一种测度，狄拉克测度【本世界也唤作“无量测度”】
这就让很多数学家相信，实际上还有更加具有普遍性的测度，只是人类还没有理解到那一步。
但是，就现阶段来说，“长度”这个词得到了严格的定义，人类对算学的认知也到了更深的层次。
有那么一瞬间，奧流真的被震慑到了。他惊叹于这种严密的智慧。但是他依旧问道：“这有什么用呢？这不过是在玩文字游戏。这种游戏，我可以玩上一天……”
“是啊，有什么用呢。”身形一闪，王崎再一次出现在奧流的面前：“这个定义，恰好能让你意识到自身的渺小啊。”(未完待续。)