第十一章 几何学
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将整块地均分出五分之三，这如何能做到？在场的众人心中都是如此想法。
巨子田鸠心中也是做此想，他当即就开口了：“你如何可能让人办到不可能办到之事呢？一块地之大小，为方田，则吾可知；为圭田（等腰三角形），吾亦可知；为斜田（等腰梯形），吾可知。然地形如犬牙交错，吾实不知其大小。阁下莫非是在强人所难？”
那个乐家子弟当即也回答道：“吾非强人所难，然我所求者，无非就是公平二字而已，我既不多要别人的地，然而别人也不可强夺我的土地。这就是我的要求，难道很过分吗？”
当然过分！巨子心中如此想，墨家在诸子各家中对于测量、木工等外物杂艺之道算是最精通的了，如果连身为墨家巨子的他都不能够办到，试问天下何人能办到？
“你要的就是公平吗？我就给你公平！”此时，一个沉稳的声音响了起来，如惊雷般的炸响在巨子的耳边。
争执的众人也都齐齐望过去，想看看到底是何人敢在此夸下如此巨口，能够办到此不可能办到之事？
来人正是戴言。他其实过来了有一段时间了，只是一直在默默地观察着众人的争执，想看看在墨家的调解下事情究竟会向何方去，然而当他发现即便墨家也出手但是终究未能彻底解决问题后，他便终于出手了。
乐家的子弟一看此人不正是近日在丰邑传得沸沸扬扬的玄子吗？心中对其有些畏惧，然而终究是对自己土地的欲望占了上风，他还是发问道：“公子，小人可是想要这块土地确切大小的五分之三，您确定能办到？”
“这有何难，本公子绝对能办到，而且给你保证精确！”戴言淡然说道。
“恕在下冒昧，敢问公子如何能够精确的测量此地之精确大小？”巨子田鸠问道，他心中其实是不相信能够有人能办到此事的。
“要做此事之前，我等先来确定土地的大小。曰：三百步一里，名曰井田。井田者，九百亩，公田居一。我等先来确定第一点，一步长，一步宽为方一步，吾称之为一平步。由古法可知，一亩地之大小为九万步，而其地大小则为九百亩，故一亩地则为一百平步，也就是以十步长，十步宽为一亩。各位对此有疑问否？”戴言问道。
“这等基本常识，吾等无疑义。”众人都齐齐称道。
“其次，此地看似参差不齐，犬牙交错，然而吾等可以确定一点，两家之前的土地与邻近相接处为直，背靠泗水处亦为直，如此吾等可以在田地最短处画一条线与两家原本之地界相垂，则此块地为方田。如此，吾等先测出此方田之长与宽，则可知此方田之大小，各位当无疑义？”
在场的人都觉得此事太简单了，也都没有疑义。于是戴言让唐鞅带人测量了被划出来的方田大小，测出其宽为450步，而长为40步，如此可知此块方田大小为180亩。
然后戴言又说道：“那么剩下的事就是测量余下的土地了。各位觉得最困难的可能就是在此了，剩下的地一片杂乱，吾等该如何测量呢？小子还是用刚才的方法，我们多画几条线，每一条线都和刚才所画之线相垂，那么剩下的土地我将其画为五份，那么其中有两份是圭田，三份是斜田”
“等等。”这却是巨子田鸠打断了戴言的话。“公子，请恕在下冒昧，你所划出来的土地，那可不是圭田，也不是斜田啊。圭田者，半广者也，以盈补虚为直田也；而斜田亦是如此，可以盈补虚方为斜田。”
这下可轮到戴言无语了，可以盈补虚为直之田才能是圭田，才能是斜田？他一直以为圭田所说的就是三角形的田，而斜田则就是梯形田，然而一定要以盈补虚才可以？这岂不是说圭田就是等腰三角形，而斜田则就是等腰梯形吗？那么一般的三角形和梯形是什么形呢？
其实这就是中国文明的一种内在缺陷了，中国的文明直到此时才开始有归类思想的萌芽，开始出现了坚白之辩，白马非马等命题，但是经过战国时代以后，这些辩论也开始从历史上消失了，然而戴言却并不知道。他心中一阵发苦，怎么感觉自己是在教小学生呢？
罢了，多辛苦一下吧，戴言心中安慰自己。“巨子在上，您认为三条边界所围成的田只有能以盈补虚的田才是圭田？”戴言字斟句酌的问着田鸠。
“然也。”田鸠答道。
“那么小子在这里请巨子随意在地上划出三条线，围成一块形，此形有三个角，既然巨子认为此形不算是圭田，那么我姑且称它为三角形吧。”戴言道。
田鸠按照戴言的吩咐做了，在地上随意的划出了一个三角形。
“巨子认为此形是无法以盈补虚了，从表面上看这却时是真的，那么小子就多加一步如何？”戴言说完就以三角形一边为公共边，又以一边为底边画了一个与原三角形相倒立的全等三角形，于是就组成了一块平行四边形。
“我们把两个三角形合成的图形看作是一个整体，此形不同于方田，也不同于斜田，然而此田却是同样可以以盈补虚的。”戴言说完，又在此平行四边形的底角处做出了一条垂直线，直接与底边垂直，如此又切割出了一个直角三角形。
“接下来，以此形之盈补彼处之虚，则整个形状就变为方田了，如此整个方田的大小（面积）为广（底边）乘以正从（三角形的高），那么此三角形的大小则为此方形的一半，也即半广以乘正从。”戴言淡淡的说道。
半广以乘正从！巨子田鸠心中巨震，他当然知道这是什么意思，事实上这就是数千年来流传下来的测量圭田大小（面积）的方法，然而他随意的画出了一个所谓的三角形，面前的少年公子轻松的添加了一笔就轻轻松松的得出此形的大小一样为半广以乘正从，和圭田的算法一模一样，它们之间到底有何共同点呢？田鸠眉头紧锁，心中陷入了深深的思考。
“公子做此为何意？公子的意思可是三角形的大小都可以此法来计算？刚刚公子也只是测量出了此三角形的大小，然而公子就认定所有的三角形的大小都可以依此法来计算否？天下岂有如此一法可通万法的道理？”这却是田鸠身后一个墨家弟子发问了。
“缠子，住口，这位公子如此做法当然是有他的道理。”田鸠发话了。然后又向戴言问道：“然而我观公子此法一环套一环，其中甚是精密。在下说不出口为何，然而心中却觉得公子此法似乎确为理所当然，还望公子教我。”说完，对着戴言长拜一礼，以示尊敬。
“先生万万不可。”戴言连忙避开田鸠的这一礼，开玩笑，知道了眼前此人乃是整个天下都出名的墨家巨子，天下闻名的学者，戴言岂敢受其一礼。随后他又说道：“我方才所言却是想说明只要随意的画出一个三角形，那么它的大小即是半广以乘正从，而那种不规则的斜田之计算方法也可以同样的方法算出，各位以为然否？”
在场的众人都是连连摇头，纷纷表示不能理解，田鸠也是摇头不语。戴言心中也开始骂娘了，一个后世小学三年级都知道的几何知识，为何在场如此多人都不能够理解？
其实这就是戴言不知道几何学的来历了。几何学的起源后世公认是起源于古埃及，在古埃及，由于尼罗河每年泛滥一次，每次泛滥，洪水会淹没两岸的土地，因此古埃及人都掌握了丰富的测量技术的经验和某些几何知识；同时由于古埃及的法老们一即位就要修金字塔，像金字塔如此规整的几何图形如果没有丰富的数学和几何知识简直让人无法想象如何能够修出来。
然而古埃及的几何学就是后世的几何学吗？并不是。古埃及人的数学和几何经验虽热丰富，但是他们却并没有将其上升为系统的理论。真正建立起几何学根基的，是来自希腊的商人泰勒斯。泰勒斯早年游学于古埃及，从古埃及人这里他学到了几何的初步知识。随后他又去游历了古巴比伦，古巴比伦的祭司阶层极为发达，同时古巴比伦人崇拜月亮，也就是月神，因此古巴比伦祭司需要去解释月食，因此他们积累出了丰富的代数知识，他们可以把月食的日子算到小数点后多少位，泰勒斯从这里又学到了代数学的知识。随后他回到了他的家乡——港口城市米力都，在那里，古希腊人遇到了一个天大的难题：船只每天都要进港出港，然而港口处深浅不一，海底还有可能有礁石，无法确认出船只之间的距离就有可能引发严重的灾难。那么如何在海上测量距离？
测量距离如果是在陆地上那是再简单不过了，可以直接拿尺来测量，那么海上你能办到吗？泰勒斯根据他从古埃及和古巴比伦两大原生文明数千年积累出的深厚数学知识，运用相似三角形的规律解决了这个问题。而解决此问题的同时，泰勒斯和古希腊哲学家产生了一个突破：它长期必须反复的使用推测、论证、确定，而这就是逻辑证明。
逻辑证明的出现不亚于人类文明基因的一次突变，因为它意味着只要你能够给出已知的条件和设定，那么就可以推导出确定的未知的东西。历史上各大文明只有古希腊进化出了这一思维方式，古埃及、古巴比伦、古印度和古中国都没有能够进化出这种思维方式。有了这种思维方式，古希腊的数学和几何就仿佛是有了一个框架，随后的数学家们不断的为其添砖加瓦，最后在欧几里得的手上形成了系统的几何学——欧氏几何。
而即使是如欧式几何那样如此简单的几何学，在中世纪的欧洲还有一个著名的驴桥定理：也就是《几何原本》第一篇的前五个定理。其中的第五个原理为：等腰三角形两底角相等，就是如此简单的定理就成为了历史上最出名的“笨蛋的难关”，即为“驴桥”，能理解此定理的就算是跨过驴桥了。
而戴言在还没有搭建起整个几何学的框架时就想来证明三角形的面积公式，并且还必须要适用于所有的三角形，这让这时代的人如何能够理解？这绝对不是智力等的差距，这是两千多年文明的差距，也是认知上的差距。
将整块地均分出五分之三，这如何能做到？在场的众人心中都是如此想法。
巨子田鸠心中也是做此想，他当即就开口了：“你如何可能让人办到不可能办到之事呢？一块地之大小，为方田，则吾可知；为圭田（等腰三角形），吾亦可知；为斜田（等腰梯形），吾可知。然地形如犬牙交错，吾实不知其大小。阁下莫非是在强人所难？”
那个乐家子弟当即也回答道：“吾非强人所难，然我所求者，无非就是公平二字而已，我既不多要别人的地，然而别人也不可强夺我的土地。这就是我的要求，难道很过分吗？”
当然过分！巨子心中如此想，墨家在诸子各家中对于测量、木工等外物杂艺之道算是最精通的了，如果连身为墨家巨子的他都不能够办到，试问天下何人能办到？
“你要的就是公平吗？我就给你公平！”此时，一个沉稳的声音响了起来，如惊雷般的炸响在巨子的耳边。
争执的众人也都齐齐望过去，想看看到底是何人敢在此夸下如此巨口，能够办到此不可能办到之事？
来人正是戴言。他其实过来了有一段时间了，只是一直在默默地观察着众人的争执，想看看在墨家的调解下事情究竟会向何方去，然而当他发现即便墨家也出手但是终究未能彻底解决问题后，他便终于出手了。
乐家的子弟一看此人不正是近日在丰邑传得沸沸扬扬的玄子吗？心中对其有些畏惧，然而终究是对自己土地的欲望占了上风，他还是发问道：“公子，小人可是想要这块土地确切大小的五分之三，您确定能办到？”
“这有何难，本公子绝对能办到，而且给你保证精确！”戴言淡然说道。
“恕在下冒昧，敢问公子如何能够精确的测量此地之精确大小？”巨子田鸠问道，他心中其实是不相信能够有人能办到此事的。
“要做此事之前，我等先来确定土地的大小。曰：三百步一里，名曰井田。井田者，九百亩，公田居一。我等先来确定第一点，一步长，一步宽为方一步，吾称之为一平步。由古法可知，一亩地之大小为九万步，而其地大小则为九百亩，故一亩地则为一百平步，也就是以十步长，十步宽为一亩。各位对此有疑问否？”戴言问道。
“这等基本常识，吾等无疑义。”众人都齐齐称道。
“其次，此地看似参差不齐，犬牙交错，然而吾等可以确定一点，两家之前的土地与邻近相接处为直，背靠泗水处亦为直，如此吾等可以在田地最短处画一条线与两家原本之地界相垂，则此块地为方田。如此，吾等先测出此方田之长与宽，则可知此方田之大小，各位当无疑义？”
在场的人都觉得此事太简单了，也都没有疑义。于是戴言让唐鞅带人测量了被划出来的方田大小，测出其宽为450步，而长为40步，如此可知此块方田大小为180亩。
然后戴言又说道：“那么剩下的事就是测量余下的土地了。各位觉得最困难的可能就是在此了，剩下的地一片杂乱，吾等该如何测量呢？小子还是用刚才的方法，我们多画几条线，每一条线都和刚才所画之线相垂，那么剩下的土地我将其画为五份，那么其中有两份是圭田，三份是斜田”
“等等。”这却是巨子田鸠打断了戴言的话。“公子，请恕在下冒昧，你所划出来的土地，那可不是圭田，也不是斜田啊。圭田者，半广者也，以盈补虚为直田也；而斜田亦是如此，可以盈补虚方为斜田。”
这下可轮到戴言无语了，可以盈补虚为直之田才能是圭田，才能是斜田？他一直以为圭田所说的就是三角形的田，而斜田则就是梯形田，然而一定要以盈补虚才可以？这岂不是说圭田就是等腰三角形，而斜田则就是等腰梯形吗？那么一般的三角形和梯形是什么形呢？
其实这就是中国文明的一种内在缺陷了，中国的文明直到此时才开始有归类思想的萌芽，开始出现了坚白之辩，白马非马等命题，但是经过战国时代以后，这些辩论也开始从历史上消失了，然而戴言却并不知道。他心中一阵发苦，怎么感觉自己是在教小学生呢？
罢了，多辛苦一下吧，戴言心中安慰自己。“巨子在上，您认为三条边界所围成的田只有能以盈补虚的田才是圭田？”戴言字斟句酌的问着田鸠。
“然也。”田鸠答道。
“那么小子在这里请巨子随意在地上划出三条线，围成一块形，此形有三个角，既然巨子认为此形不算是圭田，那么我姑且称它为三角形吧。”戴言道。
田鸠按照戴言的吩咐做了，在地上随意的划出了一个三角形。
“巨子认为此形是无法以盈补虚了，从表面上看这却时是真的，那么小子就多加一步如何？”戴言说完就以三角形一边为公共边，又以一边为底边画了一个与原三角形相倒立的全等三角形，于是就组成了一块平行四边形。
“我们把两个三角形合成的图形看作是一个整体，此形不同于方田，也不同于斜田，然而此田却是同样可以以盈补虚的。”戴言说完，又在此平行四边形的底角处做出了一条垂直线，直接与底边垂直，如此又切割出了一个直角三角形。
“接下来，以此形之盈补彼处之虚，则整个形状就变为方田了，如此整个方田的大小（面积）为广（底边）乘以正从（三角形的高），那么此三角形的大小则为此方形的一半，也即半广以乘正从。”戴言淡淡的说道。
半广以乘正从！巨子田鸠心中巨震，他当然知道这是什么意思，事实上这就是数千年来流传下来的测量圭田大小（面积）的方法，然而他随意的画出了一个所谓的三角形，面前的少年公子轻松的添加了一笔就轻轻松松的得出此形的大小一样为半广以乘正从，和圭田的算法一模一样，它们之间到底有何共同点呢？田鸠眉头紧锁，心中陷入了深深的思考。
“公子做此为何意？公子的意思可是三角形的大小都可以此法来计算？刚刚公子也只是测量出了此三角形的大小，然而公子就认定所有的三角形的大小都可以依此法来计算否？天下岂有如此一法可通万法的道理？”这却是田鸠身后一个墨家弟子发问了。
“缠子，住口，这位公子如此做法当然是有他的道理。”田鸠发话了。然后又向戴言问道：“然而我观公子此法一环套一环，其中甚是精密。在下说不出口为何，然而心中却觉得公子此法似乎确为理所当然，还望公子教我。”说完，对着戴言长拜一礼，以示尊敬。
“先生万万不可。”戴言连忙避开田鸠的这一礼，开玩笑，知道了眼前此人乃是整个天下都出名的墨家巨子，天下闻名的学者，戴言岂敢受其一礼。随后他又说道：“我方才所言却是想说明只要随意的画出一个三角形，那么它的大小即是半广以乘正从，而那种不规则的斜田之计算方法也可以同样的方法算出，各位以为然否？”
在场的众人都是连连摇头，纷纷表示不能理解，田鸠也是摇头不语。戴言心中也开始骂娘了，一个后世小学三年级都知道的几何知识，为何在场如此多人都不能够理解？
其实这就是戴言不知道几何学的来历了。几何学的起源后世公认是起源于古埃及，在古埃及，由于尼罗河每年泛滥一次，每次泛滥，洪水会淹没两岸的土地，因此古埃及人都掌握了丰富的测量技术的经验和某些几何知识；同时由于古埃及的法老们一即位就要修金字塔，像金字塔如此规整的几何图形如果没有丰富的数学和几何知识简直让人无法想象如何能够修出来。
然而古埃及的几何学就是后世的几何学吗？并不是。古埃及人的数学和几何经验虽热丰富，但是他们却并没有将其上升为系统的理论。真正建立起几何学根基的，是来自希腊的商人泰勒斯。泰勒斯早年游学于古埃及，从古埃及人这里他学到了几何的初步知识。随后他又去游历了古巴比伦，古巴比伦的祭司阶层极为发达，同时古巴比伦人崇拜月亮，也就是月神，因此古巴比伦祭司需要去解释月食，因此他们积累出了丰富的代数知识，他们可以把月食的日子算到小数点后多少位，泰勒斯从这里又学到了代数学的知识。随后他回到了他的家乡——港口城市米力都，在那里，古希腊人遇到了一个天大的难题：船只每天都要进港出港，然而港口处深浅不一，海底还有可能有礁石，无法确认出船只之间的距离就有可能引发严重的灾难。那么如何在海上测量距离？
测量距离如果是在陆地上那是再简单不过了，可以直接拿尺来测量，那么海上你能办到吗？泰勒斯根据他从古埃及和古巴比伦两大原生文明数千年积累出的深厚数学知识，运用相似三角形的规律解决了这个问题。而解决此问题的同时，泰勒斯和古希腊哲学家产生了一个突破：它长期必须反复的使用推测、论证、确定，而这就是逻辑证明。
逻辑证明的出现不亚于人类文明基因的一次突变，因为它意味着只要你能够给出已知的条件和设定，那么就可以推导出确定的未知的东西。历史上各大文明只有古希腊进化出了这一思维方式，古埃及、古巴比伦、古印度和古中国都没有能够进化出这种思维方式。有了这种思维方式，古希腊的数学和几何就仿佛是有了一个框架，随后的数学家们不断的为其添砖加瓦，最后在欧几里得的手上形成了系统的几何学——欧氏几何。
而即使是如欧式几何那样如此简单的几何学，在中世纪的欧洲还有一个著名的驴桥定理：也就是《几何原本》第一篇的前五个定理。其中的第五个原理为：等腰三角形两底角相等，就是如此简单的定理就成为了历史上最出名的“笨蛋的难关”，即为“驴桥”，能理解此定理的就算是跨过驴桥了。
而戴言在还没有搭建起整个几何学的框架时就想来证明三角形的面积公式，并且还必须要适用于所有的三角形，这让这时代的人如何能够理解？这绝对不是智力等的差距，这是两千多年文明的差距，也是认知上的差距。